Domanda R10 compito 2009-06-15�

["Andrea M." < >]

Salve professore, volevo chiederle una cosa riguardo a questo esercizio.

Semplificandolo e  ponendo i tassi muA == muB ( tanto per quello che le debbo chiedere, non ha alcun impatto questa semplificazione perche' e' per capire il meccanismo...)

Domanda R10 – Un sistema a coda è composto da un servente e da due posti in coda. Al sistema arrivando due tipologie di utenti, utenti A ed utenti B. Gli utenti A sono serviti ad un tasso �_Amentre gli utenti B sono serviti ad un tasso �_B. Gli utenti A e B sono equiprobabili, e sono complessivamente offerti al sistema con tasso �Tuttavia gli utenti B hanno una importante differenza rispetto agli utenti A: si scoraggiano se vedono la coda non vuota. In particolare, un utente B che trova il servente occupato NON entra nel sistema con probabilità 25%, e tale probabilità aumenta al 50% se l’utente trova in coda un ulteriore utente (a prescindere dal tipo). Si chiede di:

1. Modellare il sistema come una catena di markov

2. Scrivere (senza risolvere) le equazioni che permettono di determinare la distribuzione stazionaria del sistema

3. Calcolare la probabilità di perdita di un utente di tipo A

4. Calcolare la probabilità di perdita (che include la probabilità che un utente se ne vada perche’ scoraggiato)di un utente di tipo B

Riproduzione parziale (ed incompleta) della catena di markov semplificata con tasso di servizio muA == muB.
(in ASCII sperando che si veda...)

chiamiamo per semplicita lambdaB e lambdaA tanto lambdaB==lambdaA==lambda/2

       .....         .....         .....             
  ___>___ ___>___ ___>_________>____
 |             |             |              |                  |
[0]         [1]         [2]           [3]              X2   <--- il flusso perduto di B per coda piena (PI[3] * lambdaB/2 * 1/2)
                                            |
                                             ______>__X1   <--- il flusso perduto per scoraggiamento di B (PI[3] * lambdaB/2 * 1/2)

                  
Volevo chiedere nel calcolo del tasso di perdita di B bisogna includere anche
PI[3] * lambdaB/2 * 1/2 (dovuto alla coda piena) + PI[3] * lambdaB/2 * 1/2 dovuto al fatto che B, vedendo
qualcuno in coda, decide di non entrare perche' scoraggiato?

Quindi Prob di bocco di B (o di perdita di B) = PI[3] * lambdaB/2 * 1/2 + PI[3] * lambdaB/2 * 1/2 =  PI[3] * lambdaB/2
ovviamente poi tutto diviso per il traffico offerto da B che dovrebbe essere
LAMBDA[B](Offerto) = PI[0]*(lambdaB/2) + PI[1] * (lambdaB/2 * 3/4) + PI[2] * (lambdaB/2 * 1/2) + PI[3] *(lambdaB/2 * 1/2)


                        PI[3] * lambdaB/2 * 1/2 + PI[3] * lambdaB/2 * 1/2             LAMBDA(Bloccato) di B (perdita,bloccato)
Pblocco B =   -----------------------------------------------------------------   =              ----------------------------------------------
                                   PI[0]*(lambdaB/2) +                                                                    LAMBDA(O) di B
                                   PI[1] * (lambdaB/2 * 3/4) +
                                   PI[2] * (lambdaB/2 * 1/2) +
                                   PI[3] *(lambdaB/2 * 1/2)

E' giusto cosi?

Spero che riesca a leggere la mail in modo "formattato", in modo tale che le risulti piu' chiaro il tutto.
Grazie mille per la sua disponibilità.
Saluti, Andrea M.