Svolgimento esercizi

["Claudio Pupparo" < >]

Poichè risulta che ho fatto bene gli esercizi , vi dico come ho fatto io

 

 

E.1) Fourier di
x(t) = t * cos^3( 8 * pg * t + 0,25 ) * e ^ (   4 * t ) con t <=5

il coseno può essere riscritto secondo eulero in

cos^3( 8 * pg * t + 0,25 )=cos^3(2*pg*4*t+0,25)=1/8*(e^(j*2*pg*4*t)*e^(j*0,25)+e^(-j*2*pg*4*t)*e^(-j0,25))^3

dopo aver svolto il cubo del binomio, vi troverete un espressione con tutti esponenziali, che mettiamo per il momento da parte .

Trasformiamo il resto della funzione( t * e ^ (   4 * t ) )(che chiameremo g(t)) con estremi compresi tra meno infinito e 5

 

se dal cubo del binomio esce fuori un termine del tipo e^(j*2*pg*F0*t)*e^(j*cost), allora per ciascun termine di questo tipo dobbiamo applicare alla trasformata di g(t)un traslazione frequenziale:

F{g(t)*e^(j*2*pg*F0*t)*e^(j*cost)}=G(f-F0)*e^(j*cost)   ( se avevamo e^(-j*2*pg*F0*t) veniva fuori G(f+F0))

 

 

E.2) Convoluzione tra:
h(t) = t * e ^ -( 4 * t ) con t >= 6
x(t) = t * e ^ ( 5 * t ) 0 <= t <= 3

 

Dobbiamo innanzitutto scegliere quale funzione traslare perchè l'integrale di convoluzione è commutativo; io ho scelto di traslare h(t).

nell'integrale h(t) diventa h(t-tau), quindi la funzione viene ribaltata rispetto all'asse delle y e vi si aggiunge una traslazione di una quantità t;

h(t-tau) sarà quindi definito fra t-tau>=6, ossia tau<=t-6, mentre x(tau) per   0 <= tau <= 3

quindi avremo in tutto 3 casi in cui studiare la convoluzione:

 

t-6<0(cioè l'estremo massimo dell'intervallo in cui è definito h(t-tau) è minore dell'estremo minimo dell'intervallo in cui è definita x(tau)), poichè le funzioni

sono non nulle in intervali diversi allora y(t)=0

    

0 <= t-6<= 3 quindi l'estremo massimo dell'intervallo in cui è definito h(t-tau) è dentro all'intervallo in cui è definita x(tau),  perciò l'integrale da svolgere sarà compreso fa 0 e t-6

 

t-6>3, quindi l'estremo massimo dell'intervallo in cui è definito h(t-tau)  è maggiore dell'estremo massimo dell'intervallo in cui è definita x(tau) e quindi l'intergrale sarà compreso fra 0 e 3

 

Spero di non aver commesso errori  :-)

Per le domande non so se in tutti i compiti erano nello stesso ordine, quindi per evitare di sbagliare mi limito agli esercizi :P

 

Claudio Pupparo