Re: Chiarimenti su E(Nservente)

[Giuseppe Bianchi < >]

Al solito, estendo la risposta a tutti. Vedi sotto.

At 16.19 21/07/2009, Marco Martines wrote:
> Salve Professore,
> le volevo chiedere un chiarimento riguardo un esercizio tra quelli proposti
> sulla pagina di Blefari. Questo č il link
> http://www.uniroma2.it/didattica/frs/deposito/esercizi-1.pdf esercizio 1
> domanda C.
>
> Possiamo considerare il sistema come una coda M/M/1 e ci viene chiesto il
> numero medio di utenti in coda.
> Viene applicata la formula E(N)=E(Ncoda)-E(Nservente), dove E(N) č noto,
> quindi si ricava E(Nservente) per ottenere infine E(Ncoda).

Fin qui tutto bene. Questo e' un modo corretto 
per ottenere questo risultato, ma non e' 
sicuramente l'unico, ce ne sono ovviamente tanti altri.

> Il mio problema č nel ricavare E(Nservente).

Concentriamoci su questo calcolo. Cosa vuole dire 
E[Nservente]? vuole dire quale e' il NUMERO MEDIO 
di utenti in servizio. Poiche' il servente e' uno 
solo, vuole anche dire quale e' la probabilita' 
di trovare un utente in servizio. Spiego meglio 
ed in modo decisamente ampio questa 
"equivalenza", perche' capita spesso ed e' importante capirla a fondo.

Il numero medio di utenti in servizio e' il valor 
medio di un ben preciso processo casuale S che ha 
due soli stati: stato 0 = nessun utente in 
servizio, e stato 1 = 1 utente in servizio.

Supponiamo di essere in grado di determinare la 
distribuzione stazionaria di tale processo S, 
ovvero la probabilita' che, scelto un ISTANTE DI 
ISPEZIONE CASUALE, io trovo il servente occupato 
oppure libero. Ora, questo processo S sicuramente 
NON e' markoviano (quando il servente č occupato 
non ho alcuna informazione su quanta gente stia 
in coda, ed e' ben diverso sapere che una volta 
servito l'attuale cliente, il servente si 
liberera' (ovvero nessuno in coda dietro al 
cliente), oppure rimarra' ancora occupato (ovvero 
almeno un altro cliente e' in coda).

Ma non me ne frega nulla che QUESTO processo sia 
markoviano o no. Infatti io ho gia' ricavato per 
altre vie la distribuzione stazionaria del numero 
di utenti nell'intero sistema, che ricordo essere

P(k utenti nel sistema per t--> infinito) = pi_k = rho^k (1-rho)

Da tale distribuzione stazionaria (ben piu' 
complessa), io posso ora derivare la 
distribuzione stazionaria del processo S = occupazione del servente. Infatti:

P(S=0 per t--> infinito) = PS0 = P(0 utenti nel sistema) = pi_0 = 1-rho

P(S=1 per t--> infinito) = PS1 = Somma per i=1 to 
infinito di P(i utenti nel sistema) = 1 - pi_0 = 1 - (1-rho) = rho

Nota la distribuzione stazionaria di tale nuovo 
processo S, ricavo immediatamente il suo valor medio:

0 x PS0 + 1 x PS1 = PS1 = rho

Fine (NB: l'ho fatta lunga per essere 
ultra-chiaro, ma potevo sintetizzarla in 2 righe...).

Ma vediamo perche' tu hai sbagliato:

> Essendo il numero medio di utenti nel servente uguale al numero medio di
> circuiti utilizzati (credo) io avrei calcolato E(Nservente) come 1*Pė1 ossia
> il numero di utenti nello stato 1 per la probabilitā di stare in tale stato,
> (che coincide tral'altro con il traffico smaltito in erlang?). Quindi
> secondo il mio calcolo uscirebbe:
> Pė1= p * Pė0 = p - p^2
> Mentre a lui esce solamente p.
> Quindi le chiedo dove sto sbagliando?

L'errore e' che tu stai contando solo un 
SOTTOINSIEME dei casi in cui hai 1 utente in servizio.

Infatti Pi1 e' la probabilita' di avere 
ESATTAMENTE un utente nel sistema. Ma tu hai un 
utente in servizio ANCHE quando hai 2 utenti nel 
sistema, o 3 utenti nel sistema, e cosi' via. Il 
conto giusto dovrebbe pertanto essere:

1 x Pi1 + 1 x Pi2 + 1 x Pi3 + ... = Pi1 + Pi2 + Pi3 + ... = 1 - Pi0 = rho

(1 x Pi_k perche' quando hai k>0 utenti nel 
sistema, esattamente 1 e' in servizio)